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高等数学——讲透微分中值定理

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本日和人人回忆一下高数当中的微分中值定理,听说是很多高数公式的基本。因为本人才疏学浅,所以关于这点没有太深的熟习。然则提出中值定理的几个数学家却是如雷灌耳,前段时间抽闲研讨了一下,发明很有意义,完整没有设想中那末死板。所以本日的文章和人人聊聊这个话题,我会跳过一些可有可无或许意义不大的证实部份,只管讲得浅易风趣一些。

 

费马引理

 

起首上场的是费马引理,它是我们引见背面罗尔中值定理的前提。这个费马引理异常简朴,不须要太多篇幅。所以在引见它之前,先来讲讲费马这个人。

费马在数学届赫赫有名,他最有名的理论是费马大小定理。定理的内容我不讲了,和这篇文章也没啥关联。然则这背地有一段有名的故事,说是费马在提出费马大定理的时刻并没有以为它有何等出彩,因而没有加以细致的证实。有一天他在翻阅自身笔记本的时刻倏忽灵感迸发想出了一个绝妙的证实要领。然则因为笔记本旁边空缺的地区太小,所以费马此人就在册页边写了一句话,他说:

我已发明一种绝妙的证实要领,惋惜这里空间太小,写不下。

没想到费马不当回事的定理在往后的数学界异常主要,出人意表的是无数数学家尝试证实费马大定理的准确性,然则都没有胜利。虽然这个定理普遍运用,人人也都以为应该是准确的,然则就是没有人能证实。这一度也称为数学界的顶级困难,一直到1995年,听说也是靠着计算机供应了算力支持,才终究得以证实。

关于费马在册页边写的绝妙解法,数学界也争论不休。有些人扼腕叹息,以为是数学界一大丧失。另有人以为这不太靠谱,这大概不是灵感,而是错觉。但不管如何,这也造诣了费马,或许他不是史上数学最强的人,但一定是”装逼“最胜利的的一个。

我们来看下来自费马的注视。

 

言归正传,我们来看下费马引理。费马引理很简朴,是说假如在一段曲线当中存在一个点(x_0),使得在(x_0)的邻域内都存在(f(x) leq f(x_0))(或(f(x) geq f(x_0))),那末就申明(f'(x_0)=0)。

对导数熟习的同学会发明,这实在就是把话倒着说。导数为0的点是极值点,既然是极值点明显四周的点要么都大于它或许都小于它。我们看下下图就能够想邃晓。

 

证实的历程异常简朴,我们令(Delta x to 0),那末明显(f(x + Delta x) geq f(x_0), f(x - Delta x) leq f(x_0)),应用极限摆布边境相称,我们就能够证实它的准确性。

 

罗尔中值定理

 

罗尔中值定理是在费马引理的基本上做了一点引伸,我们照样看上图,在上图当中A和B两点的函数值相称。所以罗尔中值定理是,假如某个函数满足:

  1. 在闭区间[a, b]上一连
  2. f(a) = f(b)
  3. 在开区间(a, b)上可导

那末,在区间(a, b)当中必定存在一个点(x_0),使得(f'(x_0)=0)。

这个中值定理也很轻易想邃晓,既然函数在两个端点处值相称,那末不管它是先减再增照样先增再减或许是不增不减,那末明显都邑存在最少一个极值点,既然存在极值点,那末依据费马引理明显就有导数为0的点。

 

拉格朗日中值定理

 

罗尔定理简朴易懂,然则有一个小问题就是限定前提太死,函数上不一定能找到两个点相称。针对这个问题,大佬拉格朗日对这个公式进行了拓展。

他说,只需函数(f(x))满足:

  1. 在闭区间[a, b]一连
  2. 在开区间(a, b)可导

那末就能够找到一个点(xi in (a, b))使得:

[f(b) - f(a) = f'(xi)(b - a)]

这个式子如许看起来异常恐惧,我们做一个变形:

[f'(xi) = frac{f(b) - f(a)}{b - a}]

(frac{f(b) - f(a)}{b - a})这个我们都异常熟习,就是就是a和b两点连线的斜率。而(f'(xi))则是函数在(xi)这点的切线,从多少角度上来看,申明存在一个点的切线和端点连线平行,我们能够对比下图。

 

从定理上来看,假如a和b点的函数值相称,这个式子和罗尔定理完整一样,也就是说罗尔定理是拉格朗日中值定理的特殊状况。我们在证实罗尔定理的时刻用到了费马引理,那末证实拉格朗日中值定理的时刻能不能用上罗尔定理呢?

假如能用上固然很好,然则直接用是不可的,我们不能保证函数在a和b两点处值相称。为了处理这个问题,须要引入一个辅佐函数,和我们做多少题的时刻引入辅佐线很像。忠实讲这个辅佐函数是怎样来的我一窍不通,书本上也没有纪录。我们能确信的是它管用,它是准确的,然则它是怎样来的,我们不清楚,或许是数学家的灵光一闪或许是禀赋吧。

之前在学奥数的时刻常常碰到这类状况,一个看起来巨庞杂的式子,数学天赋稍稍变形或许是引入一个辅佐函数或许是定理,三下五除二就处理了。这当中每一步都看得懂,也能明白,然则就是不邃晓他是怎样想到的,这个辅佐函数就很典范。

空话不多说,我们来看这个函数:

[L(x) = f(x) - f(a) - frac{f(b) - f(a)}{b - a}(x - a)]

这个函数看起来很新鲜,然则它有一个巨牛的性子,就是它在a和b两点的值相称而且即是0,到这里就很简朴了,我们对这个巨牛的函数求导:

[L'(x) = f'(x) - frac{f(b) - f(a)}{b - a}]

依据罗尔定理,我们能够找到一个点(xi in (a, b))使得:

[f'(xi) - frac{f(b)-f(a)}{b-a}=0]

所以就得证了,花狸狐哨,蔚为大观。然则到这里还没有完毕,另有一个重头戏没有上场。

 

柯西中值定理

 

柯西中值定理的图象和拉格朗日的如出一辙,然则寄义加深了一层。在我们之前的议论当中,我们画的是y跟着x变化的函数曲线。然则有大概X轴自身也是一个函数。也就是说之前我们画的是(y = f(x))的图象,如今大概变成了(Y = f(x), X = F(x))的图象,换句话说X轴和Y轴都是x的因变量,这里的小写的x成了一个参数。

 

在如许的函数当中,某一点的切线的斜率成了: (frac{dY}{dX}=frac{f'(x)}{F'(x)})。柯西中值定理恰是作用于如许的函数上,假如函数(f, F)满足:

  1. 在闭区间[a, b]上一连
  2. 在开区间(a, b)上可导
  3. 关于恣意(x in (a, b), F'(x) neq 0)

那末最少在(a, b)当中存在一点(xi),满足:

[frac{f(b) - f(a)}{F(b) - F(a)}=frac{f'(xi)}{F'(xi)}]

虽然这个公式看起来异常虎,然则证实要领和上面迥然不同,我们引入一个基本上一样的辅佐函数:

[L(x) = f(x) - f(a)-frac{f(b) - f(a)}{F(b) - F(a)}[F(x) - F(b)]]

证实要领也是一样,能够发明这个辅佐函数是满足罗尔定理的,那末我们对它求导,如出一辙的要领就能够获得证实。我这里就不证了,意义不大。

假如我们整顿一下上面几个中值定理,会发明这是一个俄罗斯套娃,层层嵌套,然则它们研讨的都是一样一件事变。这些定理会在今后微积分的章节派上用场,如今让我们先有个印象即可。

本日的文章就是这些,假如以为有所收成,请随手扫码点个关注吧,你们的举手之劳对我来讲很主要。

 

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