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线段树入门

【Java并发工具类】CountDownLatch和CyclicBarrier

线段树入门

引题

有一个包括(N)个数的序列((N leq 1e6)),给(Q(le 1e6))个操纵,每一个操纵是下面两种中的一种:

  • 区间加:给定(l,r,x),将序列(N)下标(in [l, r])的数加上(x)
  • 区间乞降:给定(l,r),讯问下标(in [l,r])的数的和

一种很暴力的主意是对每一个操纵都一遍轮回举行修正、乞降,显然会超时;看到区间乞降很轻易就能够想到前缀和,如许能够把区间乞降降到常数复杂度,但是区间加照样(O(N));这时候就须要线段树上台了(不知道为啥排版变得巨丑,人人将就一下吧)

引见

线段树是一种有用的数据构造,它能够疾速地处置惩罚区间操纵,保护区间信息。线段树是一棵二叉树,它的每一个节点存储的是一个区间的信息(如区间和, 摆布端点等),如下图所示

线段树入门 IT教程 第1张

笔者个人比较习习用构造体来定义每一个节点,假如只开(2N)个节点,有一些状况是不够的,干脆开到(4N),并从上到下,从左向右举行编号,根节点编号为1,其左儿子是2,右儿子是3,以次类推:

#define ls (k << 1) // 左儿子
#define rs (ls | 1) // 右儿子

struct Node {
    int l, r, sum, lazy; // l为左端点,r为端点,sum是区间和, lazy是懒标记下文会讲
    Node() {}
    Node(int _l, int _r, int _sum, int _lazy=0) : l(_l), r(_r), sum(_sum), lazy(_lazy) {}
    inline int length() {return r - l + 1; } // 返回区间长度
    inline ll mi() { return (l + r) >> 1; } // 返回中心点
} node[N << 2];

保护区间信息

每次更新了较低一层的区间信息时,须要保护其父节点的信息,比方区间信息为区间和(sum)时,保护时父节点的(sum)值即是其摆布儿子的(sum)值的和

inline update(int k) {
    node[k].sum = node[ls].sum + node[rs].sum;
}

建立

建立从最上一层节点入手下手向下,一旦碰到叶子节点(区间长度为1的点),申明到最底层了,则返回,再递归地更新其父节点的区间信息

void build(int l, int r, int k) { // k是编号
    if(l == r) { // 叶子节点,输入它的值并返回
        scanf("%d", &a);
        node[k] = Node(l, r, a);
        return ;
    }
    node[k].l = l; node[k].r = r;
    int mid = node[k].mi();
    build(l, mid, ls);
    build(mid + 1, r, rs);
    update(k);
}

区间加

(注重辨别守候加的区间([l,r])节点(k)上的区间([node[k].l, node[k].r])!!)在区间([l,r])上加(addnum):从根节点入手下手,假如我们地点的节点的区间([node[k].l, node[k].r] subseteq [l,r]),那末申明这个节点区间的每一个值都须要被加(addnum);不然,申明节点上的区间没有被完整包括在([l,r])中,假如(r>mid(mid是节点的区间中值)),申明区间([mid + 1, r])这个区间还须要加上(addnum),所以进入右儿子节点;假如(l <= mid),申明区间([l, mid])这个区间还须要加上(addnum),所以进入右儿子节点。须要注重的是,后两种状况完整有大概同时满足。我们再细致斟酌区间加,为了保护线段树使其满足摆布儿子的(sum)之和即是父节点的(sum),将父节点的(sum)更新以后应当要把它的一切子节点都更新,再用一下上面的图,比方说我们让([6, 10])加10,那为了保护线段树,([6, 10])的子节点们都须要加10,统共须要9次加操纵,这造成了一个很严重的问题:如许的区间加以至比暴力还要慢!一个原本是(O(N))的操纵被我们革新成了(O(NlogN)),这时候,一个重要的头脑涌现:懒标记。它的头脑是先仅保护最上一层的区间信息,而耽误对其子节点的更新,如许做的优点在于能够把区间加积累起来,等有须要时将懒标记下传一次性更新子节点,从而有用下降复杂度

线段树入门 IT教程 第1张

inline void push(int k) { // 懒标记下传
    node[ls].lazy = node[rs].lazy = node[k].lazy;
    node[ls].sum += node[ls].length() * node[k].lazy;
    node[rs].sum += node[rs].length() * node[k].lazy;
    node[k].lazy = 0;
}

inline void add(int k) {
    if(node[k].l >= l && node[k].r <= r) { // 完整包括
        node[k].sum += node[k].length() * addnum;
        node[k].lazy += addnum; // 懒标记
        return ;
    }
    if(node[k].lazy) push(k); // 下传
    if(r > node[k].mi()) add(rs);
    if(l <= node[k].mi()) add(ls); // 不能是else if
    update(k);
}

区间乞降

区间乞降的步骤基本和区间加一样,代码也是非常相似

inline int query(int k) {
    if(node[k].l >= l && node[k].r <= r)
        return node[k].sum;
    int ans = 0;
    if(node[k].lazy) push(k);
    if(r > node[k].mi()) ans += query(rs);
    if(l <= node[k].mi()) ans += query(ls);
    return ans;
}

板子

玩整版开了long long,重要是由于许多题区间一乞降就轻易爆int

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <iostream>
#define mid ((l + r) >> 1)
#define ls (k << 1)
#define rs (k << 1 | 1)
typedef long long ll;
const int N = 1e6+5;

struct Node {
    ll l, r, sum, lazy;
    Node() {}
    Node(ll _l, ll _r, ll _sum, ll _lazy = 0L) : l(_l), r(_r), sum(_sum), lazy(_lazy) {}
    inline ll length() { return r - l + 1; }
    inline ll mi() { return (l + r) >> 1; }
}node[N << 2];

ll n, m, l, r, addnum;

inline ll read() { // 快读
    ll x = 0;
    char ch = getchar();
    while(ch < '0' || ch > '9')
        ch = getchar();
    while(ch >= '0' && ch <= '9') {
        x = (x << 3) + (x << 1) + (ch ^ 48);
        ch = getchar();
    }
    return x;
}

inline void update(int k) {
    node[k].sum = node[ls].sum + node[rs].sum;
}

inline void push(int k) {
    node[ls].lazy += node[k].lazy;
    node[rs].lazy += node[k].lazy;
    node[ls].sum += node[k].lazy * node[ls].length();
    node[rs].sum += node[k].lazy * node[rs].length();
    node[k].lazy = 0L;
}

void build(int l, int r, int k) {
    if(l == r) {
        ll a = read();
        node[k] = Node(l, r, a);
        return ;
    }
    node[k].l = l; node[k].r = r;
    build(l, mid, ls);
    build(mid + 1, r, rs);
    update(k);
}

inline void add(int k) {
    if(node[k].l >= l && node[k].r <= r) {
        node[k].sum += node[k].length() * addnum;
        node[k].lazy += addnum;
        return ;
    }
    if(node[k].lazy) push(k);
    if(r > node[k].mi()) add(rs);
    if(l <= node[k].mi()) add(ls);
    update(k);
}

inline ll query(int k) {
    if(node[k].l >= l && node[k].r <= r)
        return node[k].sum;
    ll ans = 0L;
    if(node[k].lazy) push(k);
    if(r > node[k].mi()) ans += query(rs);
    if(l <= node[k].mi()) ans += query(ls);
    return ans;
}

int main() {
    n = read(), m = read();
    build(1L, n, 1L);
    while(m--) {
        ll type;
        type = read(); l = read(), r = read();
        if(type == 2L) // 区间查询
            printf("%lldn", query(1L));
        else if(type == 1L) { // 区间加
            addnum = read();
            add(1L);
        }
    }
    return 0;
}

种种类型

最基本的几种

  • 区间加 + 区间乞降,这是最基本的线段树,板子题luogu 3372
  • 区间乘 + 区间乞降,实在像保护加法懒标记一样,再保护一个乘法的懒标记就能够够了,再轻微改改懒标记下传,板子题luogu 3373
  • 区间修正 + 区间求最值,假如没有区间修正,那打个ST就好了(不知道ST的话能够百度一下,许多博客都讲得很清晰),常数还小,有修正就用线段树就行,保护也很简单,取个max就好了

区间加 + 区间求平方之和(或许立方之和)

[ (a_i + x)^2 = a_i^2+2x*a_i+x^2 sum_{i=l}^{r}((a_i+x)^2) = sum_{i=l}^{r}a_i^2+2x*sum_{i=l}^{r}a_i+(l-r+1)*x^2 ]

能够根据上面的公式保护(sum a_i)和(sum a^2_i),立方相似,题目HDU 4578 Transformation

区间开根号(向下取整) + 区间乞降

开根号操纵会让区间里的值变得越发靠近,那只要同时保护区间(max)和(min),假如(max = min),(sum = length * max);假如(max neq min),就暴力地把这个区间上的数都开方,保护懒标记开方次数,且由于一个数(n)最多被开方(logn)次就会变成1,所以每一个数暴力实在最多(O(logn)),不会超时。区间除的头脑也是一样的,由于除法也会使得区间里的值变得越发靠近

例题

但是线段树的许多题都连系了种种技能,如下面这道:

  • POJ 2528 Mayor's posters

    思绪:离散化+线段树

Flink系统之Table API 和 SQL

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