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高等数学——详解洛必达轨则

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本日和人人一同温习的是洛必达轨则,这个轨则异常主要,在许多问题的解法当中都有涌现。虽然时隔多年,许多学问点都已还给先生了,然则我依然还记得昔时大一的时刻,高数先生在讲台上慷慨激昂的模样。

上篇文章当中我们回忆了微分中值定理,本日要说的洛必达轨则现实上是微分中值定理一个典范的运用。所以有忘记或许是新关注的同砚能够点下下方的链接回忆一下上篇文章的内容。

 

用途

 

我们进修的目标每每很质朴,就是学以致用,之前的时刻我总以为这类主意有些现实,厥后我发明许多学了不能致用的学问都忘得差不多了。所以只管我们的心态要放好,然则操纵的时刻能够现实一些,先从用途入手,或许能更好地明白也说不定。

洛必达轨则的运用场景异常简朴,就是能处理一些一会儿没法求解的极限问题。不知道人人有无发明,不论在什么领域,总有一些一会儿没法处理的问题。伴随着对这些问题的研讨,我们的手艺和理论在不停的提高,事情在不停地简化,效力越来越高。无论是数学上某个领域的打破照样盘算机当中某些东西的迭代和演进,莫不云云。

我们之前引见极限的文章当中讲过一道例题:

[displaystyle lim_{xto 0}frac{sin x}{x}]

在这题当中,由于x趋向于0的时刻,(sin x)和x都趋向于0,我们要盘算0除以0的效果,当时为了处理这个问题,我们用上了夹逼法,对它举行了缩放以后才获得了极限。相似的极限另有许多,实质上来讲问题在于当份子和分母都趋向于0时,我们很难盘算获得效果。

比方(frac{x}{x^2}),这个问题很简朴,只需举行约分,那末就是(frac{1}{x})的极限,x趋向于0时,明显(frac{1}{x})趋向于无限大。但假如不约分呢?它就是一个极限0除以极限0的问题,和上面的效果差别,它的比值效果是无限大。

洛必达轨则就是为了处理上述这些极限问题而涌现的。

 

定义

 

洛必达轨则的实质是一个定理,它划定,假如一个形如(displaystyle lim_{x to a}frac{f(x)}{F(x)})的极限,假如它满足:

  1. x趋向于常数a时,函数(f(x))和(F(x))都趋向于0
  2. 在点a的去心邻域内,(f(x))和(F(x))的导数都存在,而且(F'(x) neq 0)
  3. (displaystyle lim_{x to 0}frac{f'(x)}{F'(x)})存在

那末:

[displaystyle lim_{x to a}frac{f(x)}{F(x)}= lim_{x to a}frac{f'(x)}{F'(x)}]

也就是当变量趋向于一个常数时,假如份子分母函数的导数存在,那末我们能够用导数的极限比值来替代原函数的比值。

我们来试着证实这个定理,假如你回忆了微分中值定理的话,这个定理的证实异常简朴。我们来试一下证实。

 

证实

 

由于函数在a点的去心邻域可导,也就是说函数在这个a的去心邻域内一连。那末我们套用柯西中值定理,在x趋向于a时,能够获得在区间(a, x)内找到一个点(xi),使得:

[frac{f(x)-f(a)}{F(x)-F(a)}=frac{f'(xi)}{F'(xi)}]

到这里还差一点,由于还少了一个条件,书上的诠释是由于函数比值的极限与函数值无关,所以能够假定f(a)和F(a)即是0。我个人以为如许有些不老实,就和证实历程里写易证、易得是一样的。实在我们只需将这两做差,证实一下差值即是0即可。

[displaystyle lim_{xto a}frac{f(x)-f(a)}{F(x)-F(a)}-frac{f(x)}{F(x)}]

通分以后,能够获得:

[lim_{xto a}f(x)F(a)-f(a)F(x)]

到这里,不难看出来,当x趋向于a的时刻,上面的差值趋向于0,所以:

[frac{f(x)-f(a)}{F(x)-F(a)}=frac{f'(xi)}{F'(xi)}=frac{f(x)}{F(x)}]

由于x趋向于a的时刻,(xi)也趋向于a,那末我们就获得了:

[displaystyle lim_{x to a}frac{f(x)}{F(x)}= lim_{x to a}frac{f'(x)}{F'(x)}]

 

尝试

 

我们学会了洛必达轨则以后就能够活学活用来处理一些比较辣手的极限问题了。比方适才我们举的例子就再也不是问题了。

[lim_{xto 0}frac{sin x}{x}=lim_{xto 0}frac{cos x}{1}=1]

再来看一个:

[lim_{xto 1}frac{x^3 - 3x + 2}{x^3 - x^2 -x +1}=lim_{xto 1}frac{3x^2 - 3}{3x^2 - 2x -1}]

到这里我们照样没法获得效果,看模样是卡壳了。然则别着急,洛必达轨则是能够嵌套运用的。缘由很简朴,只需我们把(f'(x))看成是新的(f(x)),(F'(x))看成是新的(F(x)),那末我们能够继承运用洛必达轨则。也就是说,我们能够获得:

[displaystyle lim_{x to a}frac{f(x)}{F(x)}= lim_{x to a}frac{f'(x)}{F'(x)}=frac{f''(x)}{F''(x)}]

固然运用嵌套也存在条件,条件就是二阶导数存在,而且(F''(x)neq 0)。一样的原理,只需高阶导数存在,而且分母不为0,我们能够一向嵌套下去。所以洛必达轨则也能够称为套娃轨则[狗头]。有了套娃以后,问题就简朴了,上面的问题我们只需往下套就好了:

[lim_{xto 1}frac{3x^2 - 3}{3x^2 - 2x -1}=lim_{xto 1}frac{6x}{6x - 2}=frac{3}{2}]

 

变形

 

除了套娃以外,洛必达轨则还存在一个有名的变形。前面议论的运用领域都是在x趋向于一个常数的状况下的,实在在一些特别的状况下,当x趋向于正无限时,我们一样能够套用洛必达轨则。和基本版本一样,一样须要函数f(x)和F(x)满足一些条件:

  1. x趋向于正无限时,f(x)和F(x)同时趋向于0或许无限
  2. 存在N使妥当|x| > N时,f'(x)和F'(x)都存在,而且F'(x)不即是0
  3. (displaystyle lim_{x to +infty}frac{f'(x)}{F'(x)})存在

我们来看个例子:(displaystyle lim_{x to infty}frac{ln x}{x^2})

我们能够看出来,当x趋向于无限的时刻,份子分母都趋向于无限。所以我们能够运用洛必达轨则:

[displaystyle lim_{x to +infty}frac{ln x}{x^2}=lim_{xto +infty}frac{frac{1}{x}}{2x}=lim_{xto+infty}frac{1}{2x^2}=0]

 

总结

 

洛必达轨则在高数当中异常主要,尤其是在盘算极限的时刻,许多看起来很贫苦的极限在经由洛必达轨则的转换以后说不定就简朴很多。

然则关于洛必达轨则运用的限定看起来有些贫苦,实在我们只须要切记两点即可。第一点是不论x趋向于什么值,只需保证份子分母同时趋向于0或许是无限,而且导数存在,且分母的导数不为0即可。也就是说假如份子分母的极限差别时为0或许无限大,则不能运用洛必达轨则。这一点一定要切记,由于在我们屡次运用洛必达轨则的历程当中,很有大概涌现份子分母不在满足这个条件的状况,我们在运用的时刻一定要铭刻。

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